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Cuando estudiamos geometría, todos sabemos que, para calcular el perímetro de una figura regular, debemos conocer la longitud de sus lados y decimos que el perímetro está en función del lado.
Cuando queremos comprar frutas, por ejemplo, naranjas, sabemos que lo que vamos a pagar depende de la cantidad de naranjas que compremos, entonces decimos que el gasto está en función de la cantidad de naranjas.
En ambos ejemplos anteriores, la longitud de los lados, el perímetro, la cantidad de naranjas y el gasto total reciben el nombre de variables (pueden cambiar sus valores). Como el perímetro y el gasto total dependen de la longitud del lado y de la cantidad de naranjas compradas respectivamente, decimos que esas variables son variables dependientes y a la longitud del lado y la cantidad de naranjas les llamamos variables independientes.
Las leyes de dependencia de dos variables pueden ser complicadas en algunas ocasiones. Sin embargo, en muchas aplicaciones matemáticas existe una ley de dependencia funcional muy simple, llamada proporcionalidad, la cual puede ser directa o inversa.
Proporcionalidad directa
Decimos que dos variables A y B son directamente proporcionales si al dividir A entre B, el cociente, llamado razón, se mantiene constante cualesquiera sean los valores de A y B elegidos.
En otras palabras, A y B son directamente proporcionales si y solamente si A/B=k (k es una constante), es decir, si y solamente si A = k B. Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, decimos simplemente que son proporcionales.
Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, decimos simplemente que son proporcionales.
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Ejemplo 1
Si representamos por «h» la altura de un niño y por «s» la sombra que proyecta; como la sombra proyectada es directamente proporcional a la altura del edificio, podemos escribir que s = k h.
Supongamos que Raúl mide 120 cm y que su sombra a las 9 de la mañana mide 60 cm.
Ejemplo 2
Si sabemos que las magnitudes m y n son directamente proporcionales, podemos completar fácilmente la siguiente tabla.
m | 3 | 2 | 7 | ||
n | 21 | 70 | 140 |
Como ya sabemos que m y n son directamente proporcionales, entonces n = k m y al ser la primera pareja de valores de la tabla los números 3 y 21, escribimos 21 = k 3, entonces el valor de k = 7 y de ese modo podremos obtener los demás valores de la tabla a partir de «k» .
Para facilitar la explicación, usaremos subíndices para diferenciar los valores que queremos encontrar, sin embargo, una vez comprendido el procedimiento, esto ya no es necesario.
Ejemplo 3
Un poste de 4 metros de altura proyecta una sombre de 2,5 m de longitud. Determina la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 50 metros.
Condiciones iniciales del problema: h = 4 metros s = 2,5 metros
Condiciones finales del problema: h = x metros s = 50 metros
En vista de que la sombra proyectada es directamente proporcional a la altura del edificio, entonces, la razón entre las alturas es igual a la razón entre las longitudes de las sombras y podemos escribir
